Matemática discreta Ejemplos

$y = {(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2)$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = {(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2)$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como ${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2) = 0$ .

${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2) = 0$

Paso 1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 x + 9 \cdot - 2 = 0$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $9$ por $- 2$ .

${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 x - 18 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

Factoriza ${(x - 2)}^{2}$ de ${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Factoriza ${(x - 2)}^{2}$ de ${(x - 2)}^{3}$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 2) - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 x - 18 = 0$

Paso 1.2.3.1.2

Factoriza ${(x - 2)}^{2}$ de $- 6 {(x - 2)}^{2}$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \cdot - 6 + 9 x - 18 = 0$

Paso 1.2.3.1.3

Factoriza ${(x - 2)}^{2}$ de ${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \cdot - 6$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 2 - 6) + 9 x - 18 = 0$

Paso 1.2.3.2

Resta $6$ de $- 2$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 x - 18 = 0$

Paso 1.2.3.3

Factoriza $9$ de $9 x - 18$ .

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Paso 1.2.3.3.1

Factoriza $9$ de $9 x$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 (x) - 18 = 0$

Paso 1.2.3.3.2

Factoriza $9$ de $- 18$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 x + 9 \cdot - 2 = 0$

Paso 1.2.3.3.3

Factoriza $9$ de $9 x + 9 \cdot - 2$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 (x - 2) = 0$

Paso 1.2.3.4

Factoriza $x - 2$ de ${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 (x - 2)$ .

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Paso 1.2.3.4.1

Factoriza $x - 2$ de ${(x - 2)}^{2} (x - 8)$ .

$(x - 2) ((x - 2) (x - 8)) + 9 (x - 2) = 0$

Paso 1.2.3.4.2

Factoriza $x - 2$ de $9 (x - 2)$ .

$(x - 2) ((x - 2) (x - 8)) + (x - 2) \cdot 9 = 0$

Paso 1.2.3.4.3

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) ((x - 2) (x - 8)) + (x - 2) \cdot 9$ .

$(x - 2) ((x - 2) (x - 8) + 9) = 0$

Paso 1.2.3.5

Expande $(x - 2) (x - 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 2) (x (x - 8) - 2 (x - 8) + 9) = 0$

Paso 1.2.3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 8 - 2 (x - 8) + 9) = 0$

Paso 1.2.3.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 8 - 2 x - 2 \cdot - 8 + 9) = 0$

Paso 1.2.3.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot - 8 - 2 x - 2 \cdot - 8 + 9) = 0$

Paso 1.2.3.6.1.2

Mueve $- 8$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 2) (x^{2} - 8 x - 2 x - 2 \cdot - 8 + 9) = 0$

Paso 1.2.3.6.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 8$ .

$(x - 2) (x^{2} - 8 x - 2 x + 16 + 9) = 0$

Paso 1.2.3.6.2

Resta $2 x$ de $- 8 x$ .

$(x - 2) (x^{2} - 10 x + 16 + 9) = 0$

Paso 1.2.3.7

Suma $16$ y $9$ .

$(x - 2) (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Paso 1.2.3.8

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.3.8.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Paso 1.2.3.8.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 1.2.3.8.3

Reescribe el polinomio.

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Paso 1.2.3.8.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$(x - 2) {(x - 5)}^{2} = 0$

Paso 1.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Paso 1.2.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.2.6

Establece ${(x - 5)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece ${(x - 5)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Paso 1.2.6.2

Resuelve ${(x - 5)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.6.2.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 1.2.6.2.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) {(x - 5)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 2, 5$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(2, 0), (5, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = {((0) - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = {(0 - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = {(0 - 2)}^{3} - 6 {(0 - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = {(0 - 2)}^{3} - 6 {(0 - 2)}^{2} + 9 (0 - 2)$

Paso 2.2.4

Elimina los paréntesis.

$y = {((0) - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Paso 2.2.5

Simplifica ${((0) - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$ .

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Paso 2.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.5.1.1

Resta $2$ de $0$ .

$y = {(- 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Paso 2.2.5.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$y = - 8 - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Paso 2.2.5.1.3

Resta $2$ de $0$ .

$y = - 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Paso 2.2.5.1.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = - 8 - 6 \cdot 4 + 9 ((0) - 2)$

Paso 2.2.5.1.5

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$y = - 8 - 24 + 9 ((0) - 2)$

Paso 2.2.5.1.6

Resta $2$ de $0$ .

$y = - 8 - 24 + 9 \cdot - 2$

Paso 2.2.5.1.7

Multiplica $9$ por $- 2$ .

$y = - 8 - 24 - 18$

Paso 2.2.5.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.2.5.2.1

Resta $24$ de $- 8$ .

$y = - 32 - 18$

Paso 2.2.5.2.2

Resta $18$ de $- 32$ .

$y = - 50$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, - 50)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(2, 0), (5, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, - 50)$

Paso 4